الحركة المنحنية. دراسة بيانية لحركة كرة

ملاحظة: توجد وثيقة التلميذ بصيغة الـ PDF في نهاية الدرس.

نشاط:
نريد دراسة حركة كرة يقذفها لاعب برجله، حيث تنطلق بسرعة ابتدائية $\vec{v}_0$ (انظر الوثيقة 8 أ).
في الوثيقة 8 ب، يُعطى التسجيل الممثل لمواضع الكرة خلال فترات زمنية متساوية $\tau = 0{,}2\,\text{s}$.

أ ـ وصف الحركة:

1 ـ كيف يتغير شعاع السرعة اللحظية من موضع لآخر؟ مثله في ثلاثة مواضع متتالية من مرحلة الصعود، ثم في ثلاثة مواضع متتالية من مرحلة النزول.

2 ـ ما نوع الحركة في مرحلة الصعود وما نوعها في مرحلة النزول؟ علل.

3 ـ ارسم مسار الكرة واستنتج أعلى موضع تبلغه. هل هذا الموضع ممثل في الوثيقة ؟ ناقش.

4 ـ حدد خصائص شعاع تغير السرعة في المرحلتين. ماذا تستنتج؟

ب ـ تحديد القوة المطبقة على الكرة:

1 ـ ما هي القوة المطبقة على الكرة خلال حركتها ؟ مثلها كيفيا في كل المواضع التي مثل فيها شعاع السرعة. علل.

2 ـ قارن حامل القوة مع حامل شعاع السرعة في كل هذه المواضع. ماذا تستنتج؟

3 ـ قارن جهتها مع جهة شعاع السرعة في كل هذه المواضع. ماذا تستنتج؟  

4 ـ ما هي الزاوية التي يصنعها حامل القوة وحامل السرعة في المواضع المدروسة (منفرجة ـ حادة ـ قائمة) ؟

5 ـ كيف تتغير هذه الزاوية خلال الحركة؟

ج ـ دراسة أثر شعاع القوة على شعاع السرعة:

1. حلل في المواضع السابقة، باستعمال الألوان، شعاع السرعة $\vec{v}$ إلى مركبتيه الشعاعيتين: الأفقية $\vec{v}_x$ والشاقولية $\vec{v}_y$، بحيث يكون دائمًا:

$$\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y$$

2. قارن حامل القوة المطبقة على الكرة مع حاملي المركبتين $\vec{v}_x$ و$\vec{v}_y$ في كل لحظة.

3. كيف تتغير قيمة المركبتين في مرحلتي الصعود والنزول؟

4. هل تتغير جهة المركبتين في مرحلة الصعود؟ وفي مرحلة النزول؟

5. ماذا تستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال الصعود؟

6. ماذا تستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال النزول؟

7. ماذا تستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_x$ خلال المرحلتين؟

8. ماذا يحدث للمركبة $\vec{v}_y$ إثر مرونة الكرة من أعلى موضع تشغله؟ هل تتغير جهتها؟

9. استنتج شعاع السرعة في أعلى موضع تبلغه الكرة ومثله.

10. ماذا تستنتج عن أثر شعاع القوة على شعاع السرعة $\vec{v}$ عندما يكون حاملاهما متعامدين دائمًا (في كل لحظة)؟ ما طبيعة الحركة في هذه الحالة وما نوعها؟

11. ماذا تستنتج عن أثر القوة المطبقة على تغيرات السرعة اللحظية حسب الزاوية $\alpha$ بين شعاعيهما؟

12. استنتج قيم $v_x$ ثم ارسم بيان الدالة $v_x = f(t)$.

13. استنتج $v_{0_x}$ و $v_{14_x}$ بيانياً.

14. استنتج قيم $v_y$ ثم ارسم بيان الدالة $v_y = g(t)$.

15. استنتج $v_{0_y}$ و $v_{14_y}$ بيانياً.

16. ارسم بيان الدالة $v = f(t)$.

17. استنتج $v_0$ و $v_{14}$ بيانياً.

الإجابة:

أ ـ وصف الحركة:

1 ـ كيف يتغير شعاع السرعة اللحظية من موضع لآخر:
إيجاد قيمة شعاع السرعة في المواضع M₁، M₃، M₅، M₉، M₁₁، M₁₃.
من الوثيقة نجد: 2,5 cm → 2 m ومنه: 1 cm → 0,8 m.

حساب $v_1$:
لدينا: $v_1=\dfrac{M_0M_2}{2\tau}$.
كما أن: $M_0M_2=6{,}7\times0{,}8=5{,}36\,\text{m}$.
إذن: $v_1=\dfrac{5{,}36}{2\times0{,}2}=13{,}4\,\text{m·s}^{-1}$.

حساب $v_3$:
لدينا: $v_3=\dfrac{M_2M_4}{2\tau}$.
كما أن: $M_2M_4=4{,}9\times0{,}8=3{,}92\,\text{m}$.
إذن: $v_3=\dfrac{3{,}92}{2\times0{,}2}=9{,}8\,\text{m·s}^{-1}$.

حساب $v_5$:
لدينا: $v_5=\dfrac{M_4M_6}{2\tau}$.
كما أن: $M_4M_6=3{,}2\times0{,}8=2{,}56\,\text{m}$.
إذن: $v_5=\dfrac{2{,}56}{2\times0{,}2}=6{,}4\,\text{m·s}^{-1}$.

حساب $v_9$:
لدينا: $v_9=\dfrac{M_8M_{10}}{2\tau}$.
كما أن: $M_8M_{10}=3{,}4\times0{,}8=2{,}72\,\text{m}$.
إذن: $v_9=\dfrac{2{,}72}{2\times0{,}2}=6{,}8\,\text{m·s}^{-1}$.

حساب $v_{11}$:
لدينا: $v_{11}=\dfrac{M_{10}M_{12}}{2\tau}$.
كما أن: $M_{10}M_{12}=5{,}2\times0{,}8=4{,}16\,\text{m}$.
إذن: $v_{11}=\dfrac{4{,}16}{2\times0{,}2}=10{,}4\,\text{m·s}^{-1}$.

حساب $v_{13}$:
لدينا: $v_{13}=\dfrac{M_{12}M_{14}}{2\tau}$.
كما أن: $M_{12}M_{14}=7{,}0\times0{,}8=5{,}6\,\text{m}$.
إذن: $v_{13}=\dfrac{5{,}6}{2\times0{,}2}=14\,\text{m·s}^{-1}$.

الملاحظة:

من خلال النتائج السابقة نلاحظ أن شعاع السرعة اللحظية $\vec{v}$ يكون مماسيًا للمسار في كل نقطة من نقاطه، مع تناقص طوله أثناء مرحلة الصعود، وتزايده أثناء مرحلة النزول.

نُمثِّل شعاع السرعة اللحظية في ثلاثة مواضع متتالية من مرحلة الصعود، ثم في ثلاثة مواضع متتالية من مرحلة النزول.

نأخذ مقياس الرسم بالنسبة لأشعة السرعة:

$$1\,\text{cm} \longrightarrow 5\,\text{m·s}^{-1}$$

ومنه نجد:

$$v_1 \rightarrow 2{,}7\,\text{cm}, \quad v_3 \rightarrow 2\,\text{cm}, \quad v_5 \rightarrow 1{,}3\,\text{cm}$$$$v_9 \rightarrow 1{,}4\,\text{cm}, \quad v_{11} \rightarrow 2{,}1\,\text{cm}, \quad v_{13} \rightarrow 2{,}8\,\text{cm}$$

(يوجد التمثيل بصيغة PDF في الوثيقة المرفقة في نهاية المقال).

2 ـ تحديد نوع الحركة خلال مرحلتي الصعود والنزول مع التعليل:

من أجل تحديد نوع الحركة نقوم بإيجاد شعاع تغير السرعة $\Delta \vec{v}$ في مواضع مختلفة من مرحلتي الصعود والنزول.

نقوم بإنشاء كل من:

$$(\Delta \vec{v})_2 \, , \, (\Delta \vec{v})_4 \, , \, (\Delta \vec{v})_{10} \, , \, (\Delta \vec{v})_{12}$$

(الإنشاء على الوثيقة).

الملاحظة:

نلاحظ أن لأشعة تغير السرعة

$$(\Delta \vec{v})_2 \, , \, (\Delta \vec{v})_4 \, , \, (\Delta \vec{v})_{10} \, , \, (\Delta \vec{v})_{12}$$

نفس الطول ونفس الجهة (كما هو موضح على الوثيقة).

حيث تكون جهتها عكس جهة الحركة خلال مرحلة الصعود، وفي نفس جهة الحركة خلال مرحلة النزول.

الاستنتاج:

خلال مرحلة الصعود:
الحركة منحنية متباطئة بانتظام.

خلال مرحلة النزول:
الحركة منحنية متسارعة بانتظام.

3 ـ رسم مسار الكرة واستنتاج أعلى موضع تبلغه:

(أنظر الوثيقة بصيغة PDF).

أعلى موضع تبلغه الكرة هو $M_7$ عند هذه النقطة تصبح الكرة وكأنها مقذوفة بسرعة ابتدائية أفقية، ويمكن تسمية هذه النقطة بذروة المسار، وهي توافق أعلى ارتفاع تبلغه الكرة.

استنتاج أعلى موضع:

$$y_s = 13{,}5 \times 0{,}8 = 10{,}8 \, \text{m}$$

4 ـ تحديد خصائص شعاع تغير السرعة في المرحلتين:

خلال مرحلة الصعود:

• المبدأ: نقطة من المسار

• الحامل: شاقولي

• الجهة: نحو الأسفل (عكس جهة الحركة)

• الطول: ثابت

خلال مرحلة النزول:

• المبدأ: نقطة من المسار

• الحامل: شاقولي

• الجهة: نحو الأسفل (في نفس جهة الحركة)

• الطول: ثابت

ب ـ تحديد القوة المطبقة على الكرة:

1 ـ القوة المطبقة على الكرة خلال حركتها هي قوة جذب الأرض (قوة الثقل).

تمثيلها كيفيا في كل المواضع التي مثل فيها شعاع السرعة (أنظر الوثيقة بصيغة الـ PDF)

2 ـ مقارنة حامل القوة مع حامل شعاع السرعة في كل موضع:

حامل شعاع القوة مختلف عن حامل شعاع السرعة في كل هذه المواضع. نستنتج أن للقوة تأثير على مسار الحركة.

3 ـ مقارنة جهة شعاع القوة مع جهة شعاع السرعة في كل موضع:

جهة القوة مختلف عن جهة شعاع السرعة في كل هذه المواضع. نستنتج أن للقوة تأثير على جهة الحركة.

4 ـ تحديد الزاوية التي يصنعها حامل القوة وحامل السرعة في المواضع المدروسة (منفرجة ـ حادة ـ قائمة):

خلال مرحلة الصعود:

حامل القوة يصنع مع حامل شعاع السرعة في كل هذه المواضع زاوية منفرجة.

عند الذروة:

حامل القوة يصنع مع حامل شعاع السرعة زاوية قائمة.

خلال مرحلة النزول:

حامل القوة يصنع مع حامل شعاع السرعة في كل هذه المواضع زاوية حادة.

5 ـ كيفية تتغير الزاوية خلال الحركة:

تتغير هذه الزاوية خلال الحركة ابتداءا من منفرجة ثم قائمة ثم تصبح حادة.

ج ـ دراسة أثر شعاع القوة على شعاع السرعة:

1 ـ تحليل شعاع السرعة $\vec{v}$ إلى مركبتيه الشعاعيتين: الأفقية $\vec{v}_x$ والشاقولية $\vec{v}_y$

(أنظر الوثيقة بصيغة PDF).

2 ـ مقارنة حامل القوة المطبقة على الكرة مع حاملي المركبتين $\vec{v}_x$ و$\vec{v}_y$ في كل لحظة:

خلال مرحلتي الصعود والنزول:

• حامل شعاع القوة المطبقة على الكرة عمودي على حامل المركبة $\vec{v}_x$ في كل لحظة.

• حامل شعاع القوة المطبقة على الكرة منطبق على حامل المركبة $\vec{v}_y$ في كل لحظة.

3 ـ كيفية تغير قيمة المركبتين في مرحلتي الصعود والنزول:

خلال مرحلة الصعود:

• المركبة $\vec{v}_x$ ثابتة في كل لحظة.

• المركبة $\vec{v}_y$ متناقصة.

خلال مرحلة النزول:

• المركبة $\vec{v}_x$ ثابتة في كل لحظة.

• المركبة $\vec{v}_y$ متزايدة.

4 ـ هل تتغير جهة المركبتين في مرحلة الصعود؟ وفي مرحلة النزول؟

خلال مرحلة الصعود:

• جهة المركبة $\vec{v}_x$ لا تتغير في كل لحظة.

• جهة المركبة $\vec{v}_y$ لا تتغير، وتكون نحو الأعلى.

خلال مرحلة النزول:

• جهة المركبة $\vec{v}_x$ لا تتغير في كل لحظة.

• جهة المركبة $\vec{v}_y$ لا تتغير، وتكون نحو الأسفل.

5 ـ ماذا نستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال الصعود؟

أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال الصعود هو تغير قيمة السرعة دون تغير المنحى.

6 ـ ماذا نستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال النزول؟

أثر القوة على المركبة $\vec{v}_y$ خلال النزول هو تغير قيمة السرعة دون تغير المنحى.

7 ـ ماذا نستنتج عن أثر القوة على المركبة $\vec{v}_x$ خلال المرحلتين؟

أثر القوة على المركبة $\vec{v}_x$ خلال مرحلتي الصعود والنزول منعدم؛ فلا تتغير لا قيمتها ولا منحاها.

8 ـ ماذا يحدث للمركبة $\vec{v}_y$ إثر مرور الكرة من أعلى موضع تشغله؟ هل تتغير جهتها؟

عند مرور الكرة من أعلى موضع تبلغه، تنعدم المركبة $\vec{v}_y$، ثم بعد ذلك تتغير جهتها.

9 ـ استنتاج شعاع السرعة في أعلى موضع تبلغه الكرة وتمثيله:

• شعاع السرعة في أعلى موضع تبلغه الكرة حامله موازٍ للمحور $OX$، أي أفقي (أنظر الوثيقة بصيغة PDF).

• في هذه النقطة يكون شعاع السرعة منطبقًا على المركبة $\vec{v}_x$، لأن $\vec{v}_y$ تكون منعدمة.

10 ـ أثر شعاع القوة على شعاع السرعة $\vec{v}$ عندما يكون حاملاهما متعامدين دائمًا (في كل لحظة)

عندما يكون حامل شعاع القوة متعامدًا دائمًا مع حامل شعاع السرعة، فإن القوة لا تؤثر على قيمة السرعة، بل تؤدي فقط إلى تغير جهتها.

في هذه الحالة تكون طبيعة الحركة منتظمة، وبما أن المسار منحني (لتغير الجهة)، فإن الحركة تكون دائرية منتظمة.

11 ـ أثر القوة المطبقة على تغيرات السرعة اللحظية حسب الزاوية $\alpha$ بين شعاعيهما

يتحدد أثر القوة على تغيرات السرعة اللحظية حسب الزاوية $\alpha$ بين شعاعي القوة والسرعة كما يلي:

• عندما $\alpha = 0$ أو $\alpha = \pi$:
  تتغير قيمة السرعة دون تغير منحاها (حركة مستقيمة).

• عندما $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$:
  يتغير منحى السرعة دون تغير قيمتها (حركة دائرية).

نستنتج أن لزاوية القذف تأثيرًا على الحركة:

• إذا كانت $\alpha$ منفرجة: يتغير منحى شعاع السرعة مع تناقص طوله.

• إذا كانت $\alpha$ حادة: يتغير منحى شعاع السرعة مع تزايد طوله.

12 ـ استنتاج قيم $v_x$ ورسم بيان الدالة $v_x = f(t)$

قيم $v_x$:

2,8	2,6	2,2	1,8	1,4	1,0	0,6	0,2	0	t(s)
	5	5	5	5	5	5	5		vx(m.s-1)

رسم بيان الدالة $v_x = f(t)$:

بما أن قيم $v_x$ ثابتة مع الزمن، فإن بيان الدالة $v_x = f(t)$ هو مستقيم أفقي يوازي محور الزمن.

13 ـ استنتاج $v_{0_x}$ و $v_{14_x}$ بيانياً:

من البيان نجد:

$$v_{0_x} = v_{14_x} = 5 \,\text{m·s}^{-1}$$

14 ـ استنتاج قيم $v_y$ ورسم بيان الدالة $v_y = g(t)$:

قيم $v_y$:

2,8	2,6	2,2	1,8	1,4	1,0	0,6	0,2	0	t(s)
	-13,5	-9,1	-4,6	0	4,3	8,6	12,5		vy(m.s-1)

رسم بيان الدالة $v_y = g(t)$:

يمثل بيان الدالة $v_y = g(t)$ مستقيمًا متناقصًا بدلالة الزمن، يقطع محور الزمن عند لحظة بلوغ الكرة أعلى موضع، حيث تصبح $v_y = 0$، ثم يأخذ قيماً سالبة خلال مرحلة النزول.

15 ـ استنتاج $v_{0_y}$ و $v_{14_y}$ بيانياً:

من البيان نجد:

$$v_{0_y} = 14{,}5 \,\text{m·s}^{-1}$$$$v_{14_y} = -15 \,\text{m·s}^{-1}$$

16 ـ رسم بيان الدالة $v = f(t)$:

لدينا جدول القيم:

(يُدرج جدول القيم المحسوبة للسرعة اللحظية $v$ بدلالة الزمن، حيث $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

2,8	2,6	2,2	1,8	1,4	1,0	0,6	0,2	0	t(s)
	14	10,4	6,8	5	6,4	9,8	13,4		v(m.s-1)

الرسم البياني:

17 ـ استنتاج $v_0$ و $v_{14}$ بيانياً:

من البيان نجد:

$$v_0 = 15 \,\text{m·s}^{-1}$$$$v_{14} = 15{,}3 \,\text{m·s}^{-1}$$