المعادلة التفاضلية للدارة RC بدلالة الشحنة

المعادلة التفاضلية للدارة RC بدلالة الشحنة

حالة شحن المكثفة:

ليكن التركيب التجريبي التالي:

كتابة المعادلة التفاضلية بدلالة q(t):

لدينا: u_C + u_R = E 

ومنه : u_C + R.i = E

لدينا:

1. $u_C = \frac{q}{C}$
2. $i = \frac{dq}{dt}$
   

ومنه نجد:

$$\frac{q}{C} + R \frac{dq}{dt} = E$$

ثم نقوم بترتيب المعادلة فنجد:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q(t) = \frac{E}{R}$$

ولدينا: $E = \frac{Q_0}{C}$ومنه:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q(t) = \frac{Q_0}{RC}$$

وبتعويض الثابت الزمني $\tau = RC$، نحصل على المعادلة النهائية:

$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau }q(t)=\frac{Q_0}{\tau }$$

الاثبات بأن 

$q(t) = Q_0(1 - e^{-t/\tau})$ يمثل حل للمعادلة:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q(t) = \frac{Q_0}{\tau}$$

لدينا:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q(t) = \frac{Q_0}{\tau}$$

ولدينا:

$$q(t)=Q_0(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$$

نشتق $q(t)$ بالنسبة للزمن:

$$\frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ Q_0 \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) \right]$$

ومنه:

$$\frac{dq}{dt} = Q_0 \cdot \frac{d}{dt} \left( 1 - e^{-t/\tau} \right)$$$$\frac{dq}{dt} = Q_0 \cdot \left( \frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} \right)$$

ومنه:

$$\frac{dq}{dt}=\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$$

نعوض في المعادلة التفاضلية:

$$\frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{1}{\tau} \left[ Q_0 \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) \right] = \frac{Q_0}{\tau}$$

نبسط الطرف الأيسر:

$$\frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{1}{\tau} Q_0 \left( 1 - e^{-t/\tau} \right)$$$$=\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+\frac{Q_0}{\tau }-\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$$

$$= \frac{Q_0}{\tau}$$

ومنه:

$$q(t) = Q_0 \left( 1 - e^{-t/\tau} \right)$$

هو حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q(t) = \frac{Q_0}{\tau}$$

رسم بيان الدالة:

$$q(t) = Q_0 \left( 1 - e^{-t/\tau} \right)$$

من أجل $t = 0$:

$$q(0) = Q_0 \left( 1 - e^{0} \right)$$$$q(0)=Q_0(1-1)=0$$

و من أجل $t = \tau$:

$$q(\tau) = Q_0 \left( 1 - e^{-\tau/\tau} \right)$$$$q(\tau )=Q_0(1-e^{-1})$$

إذن، $q(\tau) \approx 0.63Q_0$

و من أجل $t = 5\tau$:

$$q(5\tau) = Q_0 \left( 1 - e^{-5\tau/\tau} \right)$$$$q(5\tau )=Q_0(1-e^{-5})$$

إذن، $q(5\tau )\approx Q_0$

حالة تفريغ المكثفة:

كتابة المعادلة التفاضلية بدلالة q(t):

نغلق القاطعة في الوضع (2) فيصبح المولد خارج الدارة ومنه نأخذ

 E = 0 ومنه نجد:

$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau }q(t)=0$$

الاثبات بأن $q(t) = Q_0 e^{-t/\tau}$ هو حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q(t) = 0$$

لدينا:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q(t) = 0$$

ولدينا:

$$q(t)=Q_0{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$$

نشتق $q(t)$ بالنسبة للزمن فنجد:

$$\frac{dq}{dt}=-\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$$

بالتعويض في المعادلة التفاضلية نجد:

$$\frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{1}{\tau} \left( Q_0 e^{-t/\tau} \right) = 0$$

ومنه:

$$-\frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau} = 0$$

ومنه:

$$0 = 0$$

محققة

ومنه:

$$q(t) = Q_0 e^{-t/\tau}$$

هو حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau }q(t)=0$$

رسم بيان الدالة:

$$q(t) = Q_0 e^{-t/\tau}$$

عندما $t = 0$:نجد: $q(0) = Q_0$

عندما $t = \tau$:نجد: $q(\tau) \approx 0.37 Q_0$

عندما $t = 5\tau$:نجد: $q(5\tau )\approx 0$

البرهان على أن المماس للبيان عند M(0 ; Q₀) يقطع محور الأزمنة عند t = Ʈ:

معادلة المماس من الشكل q(t) = a.t + b

لدينا:

• $$a={\left(\frac{dq}{dt}\right)}_{t=0}$$
• $$b=q(0)$$

ولدينا:

$$q(t) = Q_0 e^{-t/\tau}$$

المشتقة الأولى هي:

$$\frac{dq}{dt} = -\frac{Q_0}{\tau} e^{-t/\tau}$$

عند $t = 0$:

$$a = \left( \frac{dq}{dt} \right)_{t=0} = -\frac{Q_0}{\tau} e^{0}$$

ومنه:

$$a = -\frac{Q_0}{\tau}$$

ولدينا:

$$q(0) = Q_0 e^{0}$$

ومنه:

$$b=Q_0$$

معادلة المماس تُعطى بالصورة:

$$q(t)=-\frac{Q_0}{\tau }\cdot t+Q_0$$

لحساب الزمن $t$ الذي يجعل $q(t) = 0$، نحل المعادلة:

$$-\frac{Q_0}{\tau} \cdot t + Q_0 = 0$$

نبسط المعادلة:

$$-\frac{t}{\tau} + 1 = 0$$$$-\frac{t}{\tau} = -1$$$$\frac{t}{\tau} = 1$$$$t=\tau$$