تطور جملة ميكانيكيـة. 2/2

في هذا الدرس، ندرس تطور جملة ميكانيكية، بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على جسم صلب يسقط في وسط مقاوم. نركز على كيفية تمثيل الحركة عبر معادلة تفاضلية، تأخذ بعين الاعتبار مقاومة الهواء، وتأثير القوى المختلفة مثل الثقل، ودافعة أرخميدس. كما نستعرض مفهوم السرعة الحدية، من خلال تحليل تطور السرعة مع الزمن. في نهاية الدرس، نقترح تجربة علمية، باستخدام كرة تسقط في الجليسيرول، لتوضيح المفاهيم نظريًا وعمليًا.

ملاحظة: توجد تمارين الكتاب المدرسي حول تطور جملة ميكانيكيـة بصيغة الـ PDF في نهاية المقال.

ملاحظة: توجد وثيقة التلميذ بصيغة الـ PDF في نهاية المقال.

3 ـ دراسة حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء:

أ ـ السقوط الحقيقي:

نترك جسما خفيفا يسقط  من ارتفاع معين.

ـ مثل جميع القوي المؤثرة على الجسم، مع تعريف كل قوة ؟

تعريف القوى المؤثرة على الجسم (S):

ـ ثقل الجسم، ويعطى بالعبارة P = m.g

ـ قوة الاحتكاك مع الهواء، وتعطى بإحدى العبارتين التاليتين:

f = kv من أجل السرعات الصغيرة.

f = k'v² من أجل السرعات الكبيرة.

ـ دافعة أرخميدس،  وتعطى بالعبارة π = ρ.V.g

حيث: ρ: الكتلة الحجمية للمائع.

ـ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن. برهن أنه من أجل f = kv  تأخذ المعادلة التفاضلية للحركة الشكل التالي:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v-g(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})=0& & \text{(I)}\end{array}$$

حيث: ρ₁: الكتلة الحجمية للمائع.

        ρ₂: الكتلة الحجمية للجسم.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجسم (S) نجد:

$$\vec{P}+\vec{\pi }+\vec{f}=m\cdot \vec{a}$$

بالإسقاط على محور الحركة نجد:

$$P - \pi - f = ma$$

حيث:

• $P = mg$: قوة الثقل.

• $\pi = \rho_1 V g$: دافعة أرخميدس.

• $f = kv$: قوة المقاومة.

• $a = \frac{dv}{dt}$: التسارع اللحظي.

نعوّض كل قوة بعبارتها:

$$mg - \rho_1 V g - kv = m \frac{dv}{dt}$$

نرتب المعادلة:

$$m\frac{dv}{dt}+kv-mg+{\rho }_{1}Vg=0$$

نقسم على m لتبسيط المعادلة:

$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v - g + \frac{\rho_1 V g}{m} = 0$$ومنه:
$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v - g\left(1 - \frac{\rho_1 V}{m} \right) = 0$$

العلاقة بين الكتلة والحجم.
بما أن الكتلة $m = \rho_2 V$، فإن:

$$\frac{\rho_1 V}{m} = \frac{\rho_1}{\rho_2}$$

وبالتالي تصبح المعادلة:

$$\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})$$

وبذلك نكون قد استنتجنا نفس المعادلة التفاضلية الأصلية، (المشار إليها بـ (I))، أي أن:

$$\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})$$

ـ استنتج عبارة السرعة الحدية.

$$v_L=\frac{mg}{k}(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})$$

عندما يصل الجسم إلى السرعة الحدية $v = v_L$، فإن سرعته تصبح ثابتة بمرور الزمن. وهذا يعني أن:

$$\frac{dv_L}{dt} = 0$$

لدينا:

$$\frac{dv}{dt} = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right) - \frac{k}{m}v$$

فإننا عند الحالة الحدية (أي عندما $v = v_L$) نحصل على:

$$0 = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right) - \frac{k}{m}v_L$$

وبترتيب المعادلة:

$$\frac{k}{m}v_L = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right)$$

ومنه:

$$v_L=\frac{mg}{k}(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})$$

استنتاج عبارة v_L بالاعتماد على حل المعادلة التفاضلية:

نفرض أن:

$$v(t) = v_L \left(1 - e^{-t/\tau} \right)$$

وبالتالي يمكن كتابتها على الشكل:

$$v(t) = v_L - v_L e^{-t/\tau} \tag{1}$$

وباستخدام هذه العبارة، نحسب المشتقة بالنسبة للزمن:

$$\frac{dv}{dt} = \frac{v_L}{\tau} e^{-t/\tau} \tag{2}$$

ولدينا:

$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2} \right) \tag{I}$$

نعوّض المعادلتين (1) و(2) في (I):

$$\frac{v_L}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{k}{m} \left(v_L - v_L e^{-t/\tau} \right) = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2} \right)$$

نبسّط الطرف الأيسر:

$$\left( \frac{v_L}{\tau} - \frac{k}{m} v_L \right) e^{-t/\tau} + \frac{k}{m} v_L = g\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2} \right)$$

ولكي تتحقق هذه المعادلة لكل $t$، يجب أن ينعدم معامل $e^{-t/\tau}$، وكذلك أن يتساوى الحد الثابت في الطرفين.

من الشرط الأول:

$$\frac{v_L}{\tau} - \frac{k}{m} v_L = 0 \Rightarrow \frac{1}{\tau} = \frac{k}{m} \Rightarrow \tau = \frac{m}{k}$$

ومن الشرط الثاني:

$$\frac{k}{m}{v}_L=g(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})$$

نستنتج من ذلك:

$$v_L=\frac{mg}{k}(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})\text{و}\tau =\frac{m}{k}$$

ـ استنتج المعادلة التفاضلية للحركة من أجل f = k'v² ؟

$$\begin{array}{cccc}& \frac{dv}{dt}+\frac{k^{\mathrm{\prime }}}{m}{v}^2-g(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})=0& & \text{(II)}\end{array}$$

ـ استنتج عبارة السرعة الحدية من أجل f = k'v² ؟

العبارة هي:

$$v_L=\sqrt{\frac{mg}{k^{\mathrm{\prime }}}(1-\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2})}$$

ب ـ السقوط الحر:

ـ متى نقول عن السقوط أنه حر؟
نقول عن السقوط انه حرا، اذا خضع الجسم خلال سقوطه لقوة ثقله فقط. 

ـ مثل القوى المؤثرة على جسم في حالة سقوط حر، ثم استنتج العلاقة

$$\vec{a}=\vec{g}$$

تمثيل القوى.

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن نجد:

$$m\vec{a}=m\vec{g}$$

ومنه:

$$\vec{a}=\vec{g}$$

ننسب الجملة (جسم) لمعلم متعامد ومتجانس، حيث يكون المحور(OZ) شاقولي، ومتجه نحو الأعلى.

ـ استنتج إحداثيات شعاع التسارع على كل محور؟

a_x = 0 ، a_y = 0 ، a_z = - g

ـ استنتج طبيعة الحركة على كل محور؟

على المحور (OX):

a_x = 0 الجسم ساكن، أو يتحرك بحركة مستقيمة منتظمة.

على المحور (OY):

a_y = 0 الجسم ساكن، أو يتحرك بحركة مستقيمة منتظمة.

على المحور (OZ):

a_z = - g الجسم يتحرك بحركة مستقيمة متغيرة بانتظام. 

ـ أرسم بيان الدالة a_z = f(t) ؟

ـ استنتج المعادلات التفاضلية للحركة بدلالة السرعة على كل محور؟

$$\frac{dv_x}{dt} = 0,\quad \frac{dv_y}{dt} = 0,\quad \frac{dv_z}{dt} = -g$$

ـ باعتبار الجسم يبدأ حركته من السكون، أوجد المعادلة الزمنية للسرعة على كل محور، وكذلك المعادلة الزمنية للسرعة في الحالة العامة ؟

المعادلة الزمنية للسرعة على كل محور:

v_x = v_0x ، v_y = v_0y ، v_z = - g.t + v_0z

وبما أن الجسم يبدأ حركته من السكون نجد:

v_0x = 0 ،  v_0y = 0، v_0z = 0

ومنه: v_x = 0 ، v_y = 0، v_z = - g.t

المعادلة الزمنية للسرعة في الحالة العامة:

v(t) = g.t (m.s^-1)

ـ أرسم بياني الدالتين v_z = f(t) ، v = f(t) ؟

رسم بيان الدالة v_z = f(t) 

رسم بيان الدالة v = f(t)

ـ استنتج المعادلات التفاضلية للحركة بدلالة الإحداثيات x ، y ، z ؟

$$\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0,\frac{dz}{dt}=-gt$$

باعتبار الجسم ينطلق من مبدأ الإحداثيات عند اللحظة  t = 0

ـ أوجد المعادلات الزمنية للحركة ؟

$$x = x_0,\quad y = y_0,\quad z = -\frac{1}{2} g t^2 + z_0$$

بما أن الجسم ينطلق من مبدأ الاحداثيات عند اللحظة t = 0

نجد: x₀ = 0  ، y₀ = 0  ، z₀ = 0

$$x=0,y=0,z=-\frac{1}{2}g{t}^2$$

جـ ـ سقوط كرية في مزيج من الجليسيرول/ماء:

طريقة العمل:

نترك كريه تسقط، بدون سرعة ابتدائية في خليط يتكون من جليسيرول/ماء، كتلة الكريه تقدر بـ m = 4,13 g 

ونصف قطرها r = 5,00 mm. الكتلة الحجمية للجليسيرول المخفف تقدر بـ ρ = 1,19 Kg/m³

نترك الكريه تسقط ونسجل حركتها بواسطة آلة تصوير فيديو. نعالج هذا التصوير بواسطة برنامج Avistep مثلا. نتائج القياس التي يقدمها البرنامج نلخصها في الجدول التالي:

200	160	120	80	40	0	(t(ms
89,2	63,7	40,3	20,9	6,8	0	(Y(mm
650	611	532	419	261	0	(v(mm/s
440	400	360	320	280	240	(t(ms
250,5	223,7	196,5	169,7	142,5	115,7	(Y(mm
675	675	675	675	675	666	(v(mm/s

1 ـ  أرسم البيان v = f(t) ؟

2 ـ استنتج من خلال هذا المنحنى. هل تسارع الحركة يتغير بالزيادة أم بالتناقص؟

من خلال البيان نلاحظ أن تسارع الكرية يتغير بالتناقص، لأن ميل المماسات التي يمكن رسمها على المنحنى في تناقص من لحظة لأخرى.

3 ـ مثل القوى الخارجية المؤثرة على الكرية أثناء حركتها ؟

4 ـ ما هي القوى التي تبقى ثابتة أثناء الحركة ؟

القوى التي تبقى ثابتة أثناء الحركة هي قوة الثقل، وكذلك دافعة أرخميدس. لأن هاتين القوتين لا تتعلقان بسرعة الكرية، والقوة المقاومة هي التي تتغير لأنها تتعلق بسرعة الكرية.

5 ـ لماذا يمكن الاستنتاج بأن قوة الاحتكاك f تكون معاكسة لشعاع السرعة، وكذلك قيمتها f = f(v) تتزايد مع قيمة السرعة v ؟

شعاع التسارع له نفس اتجاه محصلة قوة الثقل ودافعة أرخميدس.

بما أن قيمة التسارع تتناقص، هذا يعني أن شعاع قوة الاحتكاك يعاكس شعاع السرعة. بينما قيمتها تزداد مع زيادة القيمة v لشعاع السرعة. 

6 ـ نلاحظ أن السرعة تؤول إلى قيمة ثابتة، نرمز لها بـ v_lim ، وتدعى السرعة الحدية.

ـ أعط عبارة f = f(v_lim)  بدلالة بقية القوى ؟

من ملاحظة البيان، يمكن كتابة:

$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }a=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{dv}{dt}=0$$

إذن: mg – π – f(v_lim) = 0

و منه نجد: f(v_lim) = mg - π

7 ـ ما هي قيمة  f في اللحظة الابتدائية t = 0 ؟

في اللحظة الابتدائية v = 0 وبالتالي f = 0

8 ـ باستعمال القانون الثاني لنيوتن، بين أن القيمة الابتدائية للتسارع، تعطى بالعلاقة:

$$a_0=\frac{(m-m_{\text{fluide}})\cdot g}{m}$$

حيث m هي كتلة الجسم، و m_fluide هي كتلة السائل المزاح من طرف الكرية.

باستعمال القانون الثاني لنيوتن عند t = 0 ، يمكن كتابة: mg – π = ma₀

نعوض π بقيمتها في المعادلة: mg – m_fluideg = ma₀

ومنه نجد:

$$a_0=\frac{(m-m_{\text{fluide}})\cdot g}{m}$$

9 ـ إذا علمت أن الحجم V للكرية يعطى بالعلاقة: V = (4/3).π.r³

استنتج قيمة m_fluide وكذلك قيمة a₀ ؟

نعلم أن الكتلة الحجمية لجسم تُعطى بالعلاقة:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

حيث:

• $\rho$: الكتلة الحجمية (بـ kg/m³)

• $m$: الكتلة (بـ kg)

• $V$: الحجم (بـ m³)

بما أن الجسم عبارة عن كرة، فإن حجم الكرة يُحسب بالعلاقة:

$$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$$

وبما أن نصف قطر الكرة هو:

$$r = 5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$$

فإن حجم الكرة يصبح:

$$V=\frac{4}{3}\cdot \mathrm{3,14}\cdot (5\cdot {10}^{-3}{)}^3$$

ومنه: V = 5,25.10^-7 m³

كتلة السائل التي توافق هذا الحجم هي:

m_fluide = ρ.V = 1,19.10³.5,25.10^-7

ومنه: m_fluide = 6,27.10^-4 kg = 0,63 g

ومنه نجد: a₀ = 8,31 m.s^-2

10ـ نعتبر نقطة تقاطع المماس للمنحنى عند اللحظة t = 0 ، مع الخط المقارب الأفقي لبيان الدالة v = f(t) ، والذي معادلته v = v_lim. فاصلة هذه النقطة نرمز لها بـ τ ، وتدعى: الزمن المميز للحركة.

ـ أعط عبارة τ بدلالة a₀ و v_lim ؟

يمكن كتابة معادلة المماس على الشكل التالي:

$$v_{\text{lim}} = a_0 \cdot \tau$$

حيث:

• $v_{\text{lim}}$: السرعة الحدية أو النهائية.

• $a_0$: التسارع الابتدائي.

• $\tau$: ثابت زمني (زمن الاستقرار أو ما يُعرف بـ"زمن استجابة النظام").

ومنه:

$$\tau = \frac{v_{\text{lim}}}{a_0}$$

ـ أحسب قيمة المقدار τ؟

من البيان، أو الجدول تلاحظ أن v_lim = 675 mm.s^-1

نعوض فنجد:

$$\tau = \frac{675 \times 10^{-3}}{8.31} = 81.23 \, \text{ms}$$

ومنه:

$$\tau \approx 81.23 \, \text{ms}$$

4 ـ حركة قذيفة:

نقوم بقذف جسم صلب كتلته m بسرعة ابتدائية v₀ ، صنع شعاعها زاوية α مع المحور الأفقي (OX) انطلاقا من النقطة O مبدأ معلم متعامد ومتجانس. 

ـ مثل شعاع السرعة كيفيا، وحدد مسار القذيفة في معلم مستوي؟

ـ تمثيل شعاع السرعة كيفيا، وتحدد مسار القذيفة في المعلم:

ـ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن. استنتج عبارة التسارع على كل محور، وكذا المعادلة التفاضلية بدلالة السرعة على كل محور؟

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن نصل الى:

عبارة التسارع على كل محور:

a_x = 0 ، a_y = - g

المعادلة التفاضلية بدلالة السرعة على كل محور:

$$\frac{dv_x}{dt} = 0, \quad \frac{dv_y}{dt} = - g$$

ـ بالاعتماد على الشروط الابتدائية. استنتج المعادلة الزمنية للسرعة على كل محور؟

من المعادلتين التفاضليتين نجد:

v_x = v_0x ، v_y = - g.t + v_0y

وبالاعتماد على الشكل نجد:

v_0x = v₀cosα ، v_0y = v₀sinα

ومنه نجد:

v_x = v₀cosα ، v_y = - g.t + v₀sinα

ـ بالاعتماد على الشروط الابتدائية. استنتج المعادلة الزمنية للمسافة على كل محور؟

لدينا:

$$\frac{dx}{dt} = v_x = v_0 \cos\alpha$$و
$$\frac{dy}{dt} = v_y = - g t + v_0 \sin\alpha$$

وبتكامل المعادلات نحصل على:

$$x = v_0 t \cos\alpha + x_0$$ $$y = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin\alpha + y_0$$

ومن أجل $x_0 = 0$ و $y_0 = 0$، نجد:

$$x = v_0 t \cos\alpha$$و
$$y=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t\sin \alpha$$

ـ أوجد معادلة المسار، واستنتج شكله ؟

لدينا:

$$x = v_0 t \cos\alpha$$

ومنه نستخرج t:

الآن، نعود إلى معادلة $y$:

$$y = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin\alpha \quad \text{(معادلة 2)}$$

نقوم بتعويض $t$ من المعادلة (1) في المعادلة (2):

$$y = -\frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right)^2 + v_0 \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right) \sin\alpha$$

نحسب كل جزء على حدى:

$$y = -\frac{1}{2} g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2\alpha} + \frac{x \sin\alpha}{\cos\alpha}$$

ومنه نحصل على معادلة المسار:

$$y = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + \tan\alpha \cdot x$$

إذن، معادلة المسار هي من الشكل:

$$y = a x^2 + b x$$

حيث:

• $a = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}$

• $b=\tan \alpha$

ومنه: المسار عبارة عن قطع مكافئ      

ـ أوجد الزمن اللازم للوصول إلى أقصى ارتفاع ؟

عند أقصى ارتفاع نجد: v_y = 0 ومنه: - g.t + v₀sinα = 0

ومنه:

$$t_s=\frac{v_0\sin \alpha }{g}$$

ـ عرف الذروة، واستنتج عبارة ترتيبتها y_S ؟

الذروة هي أقصى ارتفاع تصل اليه القذيفة خلال حركتها.

عبارة ترتيبة الذروة y_s:

لدينا المعادلة (1):

$$y = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin\alpha$$

وعند أقصى ارتفاع، تصبح السرعة العمودية $v_y = 0$، ومنه نجد:

$$t_s = \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \quad \text{(المعادلة 2)}$$

الآن، نعود إلى معادلة $y$ (المعادلة 1) ونعوض عنها بقيمة $t_s$:

$$y = -\frac{1}{2} g t_s^2 + v_0 t_s \sin\alpha$$

نعوض $t_s = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$ في المعادلة السابقة:

$$y = -\frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \right)^2 + v_0 \left( \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \right) \sin\alpha$$

الآن نحسب كل جزء على حدى:

1. الجزء الأول:

$$-\frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \right)^2 = -\frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g}$$

2. الجزء الثاني:

$$v_0 \left( \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \right) \sin\alpha = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g}$$

إذاً المعادلة تصبح:

$$y = -\frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g} + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g}$$

ومنه:

$$y = \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g}$$

إذن، أقصى ارتفاع $y_{\text{max}}$ هو:

$$y_{\text{max}}=\frac{1}{2}\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{g}$$

ـ عرف المدى واستنتج فاصلته ؟

المدى هو أقصى مسافة تقطعها القذيفة على المستوي الافقي الذي يشمل نقطة القذف.

استنتاج فاصلة المدى x_P:

طريقة (1):

نعتبر معادلة المسار تساوي الصفر ومنه نجد:

$$y = \left( \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x^2 + (\tan \alpha) x = 0$$

نأخذ العامل المشترك $x$:

$$x \left( \left( \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x + \tan \alpha \right) = 0$$

من هنا، لدينا حلين:

1. $x = 0$ (النقطة التي يبدأ فيها الجسم).

2. $\left(\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }\right)x+\tan \alpha =0$

من أجل:

$$\left( \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x + \tan \alpha = 0$$

نجد:

$$x=\frac{2v_0^2{\cos }^2\alpha \tan \alpha }{g}$$

نعلم أن:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

ومنه:

$$x = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{g}$$

ومنه:

$$x=\frac{2v_0^2\cos \alpha \sin \alpha }{g}$$

ونعلم أن:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

إذن يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:

$$x=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}$$

وبذلك، نحصل على فاصلة المدى $x_p$ كما يلي:

$$x_p=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}$$

 طريقة (2):

عند قذف جسم بسرعة ابتدائية $v_0$ وبزاوية ميل $\alpha$ مع الأفق، تنقسم الحركة إلى مركبتين:

• على المحور الأفقي:

  $$x = v_0 \cdot t \cdot \cos(\alpha)$$

• على المحور العمودي:

  $$y=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_0\cdot t\cdot \sin (\alpha )$$

من أجل:

$$0 = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 \cdot t \cdot \sin(\alpha)$$

نجد:

$$t \left( -\frac{1}{2} g t + v_0 \sin(\alpha) \right) = 0$$

إما $t = 0$ (وهي لحظة الانطلاق)، أو:

$$\frac{1}{2}gt=v_0\sin (\alpha )\Rightarrow t_p=\frac{2v_0\sin (\alpha )}{g}$$

نعود إلى معادلة المحور الأفقي:

$$x = v_0 \cdot t \cdot \cos(\alpha)$$

ونعوّض الزمن $t_p$:

$$x_p = v_0 \cdot \left( \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} \right) \cdot \cos(\alpha)$$ومنه:
$$x_p=\frac{2v_0^2\sin (\alpha )\cos (\alpha )}{g}$$

ولدينا:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$

ومنه:

$$x_p=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}$$

ـ أكتب عبارة طاقة الجملة (قذيفة + أرض) ؟

لدينا:

$$E = E_C + E_{PP}$$

ومنه:

$$E = \frac{1}{2}mv^2 + mgy$$

ـ بتطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة أوجد عبارة الذروة y_S ؟

نختار المستوي الافقي الذي يشمل (OX) كمرجع لقياس الطاقة الكامنة الثقالية.

لدينا:

$$E = E_C + E_{PP}$$

ومنه:

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$$

عند النقطة $y = 0$ تكون الطاقة الكامنة معدومة، فنحصل على:

$$E_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة العمودية منعدمة، لكن السرعة الأفقية تبقى ثابتة:

$$v_S = v_x = v_0 \cos\alpha$$

إذن الطاقة في تلك النقطة هي:

$$E_S=\frac{1}{2}m{v}_0^2{\cos }^2\alpha +mg{y}_S$$

بما أن الطاقة الميكانيكية محفوظة (E ثابتة)، فإن:

$$E_S = E_0$$

نعوّض:

$$\frac{1}{2}m v_0^2 \cos^2\alpha + mgy_S = \frac{1}{2}mv_0^2$$

نختزل $m$ من جميع الأطراف:

$$\frac{1}{2}v_0^2 \cos^2\alpha + gy_S = \frac{1}{2}v_0^2$$

نطرح $\frac{1}{2}v_0^2 \cos^2\alpha$ من الطرفين:

$$gy_S = \frac{1}{2}v_0^2 - \frac{1}{2}v_0^2 \cos^2\alpha$$

نخرج $\frac{1}{2}v_0^2$ كعامل مشترك:

$$gy_S = \frac{1}{2}v_0^2 (1 - \cos^2\alpha)$$

ونعلم أن:

$$1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$$

إذن:

$$gy_S = \frac{1}{2}v_0^2 \sin^2\alpha$$

نقسم على $g$:

$$y_S=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$$

V ـ حدود ميكانيك نيوتن:

1 ـ مقارنة بين النظام الكوكبي والنظام الذري:

ـ هل استطاع ميكانيك نيوتن تفسير الحركة في النظامين الكوكبي والمجهري؟ علل إجابتك ؟

لم يستطع ميكانيك نيوتن تفسير الحركة في النظامين الكوكبي والمجهري، لأنه يعتمد على خاصية التزامن، أي أن زمن ملاحظة ظاهرة يوافق زمن حدوثها.

ـ ما هو الحل المقترح ؟

الحل المقترح هو الميكانيك الكونتي.

2 ـ فرضية بلانك ـ اينشتاين:

فرضية بلانك:

إن الطاقة المحمولة على الموجات الضوئية تكون بشكل كمات.

فرضية اينشتاين:

تكون الكمات محمولة من طرف جسيمات عديمة الشحنة، وعديمة الكتلة تسمى الفوتونات، كل فوتون يحمل طاقة قدرها

 E = hv حيث: v = C/λ ، h: ثابت بلانك. 

 h = 6,62x10^-34 SI  

 v : تواتر الإشعاع (الهرتز  (Hz

λ : طول الموجة (m) 

C : سرعة الضوء (m/S)

3 ـ فرضية بور(سويات الطاقة):

عند انتقال الكترون من مستوي طاقي إلى اخر، فانه يصدر، أو يمتص فوتونات على شكل اشعاعات ضوئية وحيدة اللون، يعطى الفرق بين طاقتي السويتين بالعبارة:

 ΔE = E₂ – E₁ = hv

  في حالة ذرة الهيدروجين. تعطى عبارة طاقة السوية بالعلاقة:

 E_n = -13,6/n² حيث n رقم السوية.

كما يوضحه المخطط التالي:

وثيقة التلميذ بصيغة الـ PDF

تمارين الكتاب المدرسي حول تطور جملة ميكانيكيـة بصيغة الـ PDF