الفرض الثاني للثلاثي الأول في الفيزياء للسنة الثالثة ثانوي 2024

يعتبر الفرض الثاني للثلاثي الأول في مادة الفيزياء للسنة الثالثة ثانوي 2024، محطةً مهمة لتقييم مستوى التلاميذ، وتحضيرهم للامتحانات النهائية. يركز هذا الفرض على تطبيق المفاهيم الفيزيائية المتعلقة بالميكانيك، الديناميك والطاقة، يهدف إلى تطوير مهارات التحليل والتفكير العلمي. يُعد هذا الفرض فرصة لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي لفهم نقاط القوة، والضعف لديهم استعدادًا لشهادة البكالوريا 2025.

ملاحظة: يوجد الفرض مع الحل بصيغة الـ PDF في نهاية المقال.

نص الفرض:

اهتم العالم الإيطالي غاليلي بدراسة حركة سقوط أجسام مختلفة، وقد تمت هذه الدراسات بتحرير أجسام من ارتفاعات مختلفة. 

يهدف هذا التمرين إلى دراسة السقوط الحر لكرة على سطح القمر، والسقوط الشاقولي الحقيقي لها على سطح الأرض.

I ـ تم تصوير شريط فيديو لحركة السقوط الشاقولي الحر لكرة على سطح القمر

وعند تحليل الشريط حصلنا على مخطط سرعة الكرة v = f (t)، الشكل (1) بحيث ننسب حركتها لمرجع مرتبط بسطح القمر، ونعتبره غاليليا ومرتبط بمحور شاقولي (Z’Z) موجه نحو سطح القمر.

1 ـ في أية جهة قذفت الكرة؟ علل.

2 ـ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن في المرجع السابق، عبر عن تسارع الكرة بدلالة تسارع الثقالة بجوار سطح القمر.

3 ـ اكتب المعادلة الزمنية للسرعة v = f (t)

4 ـ احسب قيمة g_L وقارنها مع شدة تسارع الثقالة على سطح الأرض g

5 ـ قذفت الكرة من المبدأ O للمحور الذي يبعد عن سطح القمر بالمسافة z₀ = 0,5 m عند اللحظة t = 0.

أ ـ جد المعادلة الزمنية للحركة z = f(t) منسوبة للمحور (Z’Z).

ب ـ جد بطريقتين مختلفتين المسافة الكلية التي قطعتها الكرة، من لحظة قذفها حتى لحظة وصولها لسطح القمر.

II ـ الكرة السابقة عبارة عن كرة مطاطية مملوءة بغاز ثنائي أكسيد الكربون كتلتها m ونصف قطرها r = 10cm، بإهمال كتلة المطاط أمام كتلة الغاز.

نترك هذه الكرة تسقط بدون سرعة ابتدائية شاقوليا من ارتفاع h عن سطح الأرض، تخضع الكرة أثناء سقوطها لتأثير الهواء الذي ننمذجه في قوة احتكاك مائع شدتها f = kv² وشعاعها معاكس لشعاع السرعة، ودافعة أرخميدس F_A = m₀g، حيث m₀ هي كتلة الهواء المنزاح من طرف الكرة..

ننسب حركة الكرة لمرجع سطحي أرضي نعتبره غاليليا مرتبط بمحور شاقولي موجه نحو الأسفل (Z’Z).

1 ـ تكتسب الكرة بعد مدة زمنية سرعة حدية v_L :

ـ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن بين أن المعادلة التفاضلية تكتب من الشكل:

$$\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}{v}^2=\frac{k}{m}{v}_L^2$$

2 ـ بواسطة تجهيز خاص وبرنامج معلوماتي تمكن من تحديد سرعة الكرة في لحظات مختلفة، وقيمة مشتق السرعة بالنسبة للزمن في تلك اللحظات، ثم مثلنا بيانيا a = f(v_L²- v²)، حيث a هو التسارع اللحظي للكرة.

أ ـ احسب كتلة الكرة.

ب ـ اعتمادا على بيان الشكل (2):

ـ احسب ثابت الاحتكاك k .

ـ احسب التسارع الابتدائي للكرة، ثم استنتج الكتلة الحجمية للهواء ρ_air في شروط التجربة، واحسب السرعة الحدية للكرة.

المعطيات: حجم الكرة:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

 تسارع الثقالة على سطح الأرض g = 10 m/s²

في شروط التجربة: الكتلة الحجمية للغاز:

$${\rho }_{C{O}_2}=1.87{\text{kg/m}}^3$$

تصحيح الفرض الثاني للثلاثي الأول في الفيزياء للسنة الثالثة ثانوي 2024

I ـ 1
بما أنّه عند اللحظة $t = 0s$ إشارة سرعة الكرة سالبة (البيان)، اذن قذفت الكرة نحو الأعلى. لأن $(zz')$ موجّه نحو الأسفل.

2 ـ التعبير عن تسارع الكرة بدلالة تسارع الثقالة $g_L$ بجوار سطح القمر:

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن في المرجع السابق:

$$\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$$

ومنه:

$$\vec{P} = m \vec{a}$$

بإسقاط على المحور $(zz')$:

$$P_{zz'} = m a \Rightarrow mg_L = m a$$

ومنه:

$$a = g_L$$

3 ـ كتابة المعادلة الزمنية للسرعة $v = f(t)$:

$$v(t) = g_L t + v_0$$

ومن الشروط الابتدائية:

$$v_0 = -2 \, \text{m/s} \quad \text{عند} \quad t = 0$$

إذن:

$$v(t) = g_L t - 2$$

4 ـ حساب قيمة $g_L$:

البيان $v = f(t)$ عبارة عن مستقيم من الشكل:

$$v = \alpha t + \beta$$

حيث:

$$\beta = -2$$

والميل:

$$\alpha = \frac{0 - (-2)}{2.5 \times 0.5 - 0} = \frac{2}{1.25} = 1.6$$

إذن:

$$g_L = 1.6 \, \text{m/s}^2$$

المقارنة مع $g$:

$$\frac{g}{g_L} = \frac{10}{1.6} \approx 6.3$$

5 ـ أ ـ المعادلة الزمنية للحركة $z = f(t)$:

$$z(t) = \frac{1}{2} g_L t^2 + v_0 t + z_0$$

ومن الشروط الابتدائية:

$$z_0 = 0 \quad \text{عند} \quad t = 0$$

إذن:

$$z(t) = \frac{1}{2} g_L t^2 - 2t$$

بالتعويض:

$$z(t) = 0.8 t^2 - 2t$$

ب ـ المسافة الكلية التي تقطعها الكرة:

الطريقة 01:
المساحة تحت منحنى $v = f(t)$:

$$d = \frac{2 \times (2.5 \times 2)}{2} + \frac{2.4 \times (3 \times 0.5)}{2}$$ $$d = 1.25 + 1.8 = 3.05 \approx 3 \, \text{m}$$

الطريقة 02:

حساب لحظة انعدام السرعة (أعلى نقطة):

$$t = 1.25 \, s$$

بالتعويض:

$$z = 0.8(1.25)^2 - 2(1.25) = -1.25 \, m$$

إذن:

$$d = 2Z + z_0 = 2 \times 1.25 + 0.5 = 3 \, m$$

II ـ 1
إثبات أن المعادلة التفاضلية تُكتب على الشكل:

$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v^2 = -\frac{k}{m} v^2$$

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجملة (كرة) في مرجع سطحي أرضي نعتبره غالبًا مرتبط بمحور شاقولي موجب نحو الأسفل $(zz')$:

$$\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$$

ومنه:

$$\vec{P} + \vec{F_A} + \vec{f} = m \vec{a}$$

بإسقاط على المحور $(zz')$:

$$P - F_A - f = m a$$

ومنه:

$$mg - m_0 g - kv^2 = -m \frac{dv}{dt}$$

نكتب:

$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v^2 = g \left(1 - \frac{m_0}{m} \right) \quad (1)$$

عندما $v = v_L$ يكون:

$$\frac{dv}{dt} = 0$$

ومنه:

$$v_L^2 = \frac{m}{k} g \left(1 - \frac{m_0}{m} \right)$$

بالتعويض في (1):

$$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v^2 = \frac{k}{m} v_L^2$$

2 ـ أ ـ حساب كتلة الكرة:

لدينا:

$$m = \rho_{CO_2} \cdot V = 1.87 \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (0.1)^3$$

ومنه:

$$m = 7.83 \times 10^{-3} \, \text{kg}$$

ب ـ حساب ثابت الاحتكاك $k$:

العلاقة البيانية:

$$a = \alpha (v_L^2 - v^2)$$

حيث:

$$\alpha = 1$$

العلاقة النظرية من (1):

$$\frac{dv}{dt} = a = \frac{k}{m}(v_L^2 - v^2)$$

بالمطابقة بين العبارتين:

$$\frac{k}{m} = 1 \Rightarrow k = 7.83 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}$$

حساب التسارع الابتدائي: أكبر قيمة للتسارع هي القيمة الابتدائية.

$$a_0 = \frac{dv}{dt}\Big|_{t=0} = \frac{k}{m}(v_L^2 - v_0^2)$$

ومنه:

$$a_0 = \frac{k}{m} v_L^2$$

ومن البيان:

$$a_0 = 4 \, \text{m/s}^2$$

استنتاج الكتلة الحجمية للهواء:

$$a_0 = g \left(1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_{CO_2}} \right)$$

إذن:

$$\frac{\rho_{air}}{\rho_{CO_2}} = 1 - \frac{a_0}{g}$$

وبالتعويض:

$$\rho_{air} = \rho_{CO_2} \left(1 - \frac{a_0}{g} \right)$$ومنه:
$$\rho_{air} = 1.87 \times 0.6 = 1.12 \, \text{kg/m}^3$$

حساب السرعة الحدية للكرة:

$$v_L = \sqrt{\frac{a_0 m}{k}}$$

ومنه:

$$v_L = \sqrt{4} = 2 \, \text{m/s}$$

الفرض بصيغة الـ PDF

تصحيح الفرض بصيغة الـ PDF