العمل والطاقة الحركية (حركة دورانية). الاجابة عن الأسئلة

في الميكانيك الكلاسيكي، يُعتبر العمل والطاقة الحركية مفهومان أساسيان لفهم ديناميكية الحركة الدورانية. تتعلق الطاقة الحركية في الحركة الدورانية بحركة الأجسام حول محاورها، ويتم التعبير عنها باستخدام العزم، السرعة الزاوية، والقصور الذاتي. يرتبط العمل في الحركة الدورانية بالقوى المؤثرة وعزومها التي تُسبب دوران الجسم.

هذا الدرس خاص بشعبتي الرياضيات والتقني رياضي.

1 ـ  تعاريف ومفاهيم أولية حول الحركة الدائرية:

1 ـ 1 ـ تعريف النقطة المادية:

هي كل جسم مادي أبعاده مهملة أمام كل المسافات المعتبرة في الدراسة.

1 ـ 2 ـ الحركة الدائرية:

أ ـ تعريفها: هي حركة مسارها دائري.

ب ـ أمثلة:

ـ دوران الباب حول محوره.

ـ دوران رقاص الساعة حول محوره.

ـ دوران الالكترون حول النواة.

ـ دوران الكواكب حول الشمس.

1 ـ 3 ـ تحديد موضع جسم نقطي:

نقذف قرص صغير مربوط بخيط وطرفه الثاني مثبت في مسمار حيث يبقى الخيط مشدودا خلال الحركة.

ـ ماذا نقول عن حركة القرص ؟

نقول أن حركة القرص دائرية.

ـ كيف نحدد موضع الجسم في كل لحظة بالاعتماد على الفاصلة المنحنية ؟

* نختار نقطة َ Aمن المسار الدائري نعتبرها مبدأ الفواصل.

* نختار اتجاها موجبا للحركة على المسار.

* نحدد موضع الجسم M على المسار بالقوس.

$$S=\widehat{AM}$$

ندعوه الفاصلة المنحنية.

ـ كيف نحدد موضع الجسم في كل لحظة بالاعتماد على الفاصلة الزاوية ؟

* نختار نقطة المبدأ O منطبقة على مركز الدوران.

* نختار محورا OX نعتبره مرجعا لحساب الزوايا.

* نعين الشعاع:

$$\overrightarrow{OM}$$

و ندعوه شعاع الموضع

* نحدد الموضع  M للجسم على المسار بقيمة الزاوية θ التي يصنعها الشعاع:

$$\overrightarrow{OM}$$

مع المحور (OX) ونسميها الفاصلة الزاوية.

* تعتبر θ موجبة إذا مسحت الزاوية في الاتجاه الموجب.

* تعتبر θ سالبة إذا مسحت الزاوية في الاتجاه السالب.

ـ ما هي العلاقة بين المسافة المقطوعة على المسار والزاوية الممسوحة بين لحظتين t₁ وt₂ ؟

ينتقل جسم نقطي من الموضع M₁ في اللحظة t₁ الى الموضع M₂ في اللحظة t₂.

المسافة المقطوعة على المسار بين اللحظتين t₁ وt₂

$$S_2 - S_1 = \Delta S = \widehat{M_1 M_2}$$

الزاوية الممسوحة بين اللحظتينt₁  و t₂ ممثلة بالقيمة:

  Δθ = θ₂ – θ₁

العلاقة بين المسافة المقطوعة على المسار والزاوية الممسوحة بين لحظتين t₁t_{2 ،}  هي: ΔS = RΔθ

حيث R يمثل نصف قطر المسار الدائري.

1 ـ 4 ـ السرعة:

بالاعتماد على النشاط السابق

ـ استنتج عبارة السرعة المتوسطة بين اللحظتين t₁ وt₂ ؟

* السرعة المتوسطة: 

هي حاصل قسمة المسافة ΔSعلى المدة الزمنية Δt أي:

$$v_m = \frac{\Delta S}{\Delta t}$$

ـ استنتج عبارة السرعة الزاوية المتوسطة بين اللحظتين t₁ وt₂ ؟

* السرعة الزاوية المتوسطة:

هي حاصل قسمة الزاوية Δθ = θ₂ – θ₁

الممسوحة بين اللحظتين t₁ وt₂ على المدة الزمنية Δt = t₂ – t₁ اللازمة لقطع هذه المسافة أي

$$\omega_m = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

ـ استنتج العلاقة بين السرعة المتوسطة و السرعة الزاوية المتوسطة ؟

v_m = R.w_m

ملاحظة:

ـ نعبر في نظام الوحدات الدولية عن الزاوية بالراديان (rd) والزمن بالثانية (s) فتكون وحدة السرعة الزاوية الراديان على الثانية (rd/s)

ـ كما نعبر عن طول القوس  بالمتر (m) والزمن Δt بالثانية (s) فتكون وحدة السرعة (m/s).

2 ـ عزم قوة ثابتة بالنسبة لمحور دوران ثابت:

2 ـ 1 ـ مفهوم العزم:

نشاط ـ 1ـ

امسك بابا من مقبضه وطبق عليه قوة نحو الأعلى حاملها موازيا لمحور الدوران.

ـ هل يدور الباب ؟

الباب لا يدور.

غير الآن اتجاه القوة بحيث يقطع حاملها محور دوران هذا الباب.

ـ هل يدور الباب ؟

الباب لا يدور.

ـ كيف يجب أن يكون اتجاه القوة حتى يكون لها فعل تدويري على الباب ؟

لكي يكون للقوة فعل تدويري على الباب يجب أن يكون حاملها لا يوازي ولا يقطع محور دوران الباب.

طبق الآن قوة كيفية على مقبض الباب حاملها لا يقطع ولا يوازي محور دوران الباب.

ـ هل لهذه القوة أثر على دوران الباب ؟

نعم لهذه القوة أثر على دوران الباب.

الاستنتاج:

حتى يكون لقوة مطبقة على جسم صلب يدور حول محور ثابت، أثر دوراني على حركته يجب أن لا يوازي حامل هذه القوة محور الدوران ولا يقطع حاملها هذا المحور . نقول أن لقوة مطبقة على جسم صلب يدور حول محور ثابت عزم بالنسبة لهذا المحور إذا كان لها أثر على دوران هذا الجسم. نرمز لعزم قوة بالنسبة لمحور Δ بالرمز:

$$M_{\vec{F},\mathrm{\Delta }}$$

2 ـ 2 ـ عبارة عزم قوة ثابتة بالنسبة لمحور دوران ثابت:

نشاط ـ 2 ـ

  طبق على باب قوة عمودية على مستواه مرة على مقبضه، ومرة في نقطة قريبة من محور دورانه.

ـ هل لهذه القوة أثر على دوران الباب في كلتا الحالتين ؟

نعم لهذه القوة أثر على دوران الباب في كلتا الحالتين.

ـ هل الباب يدور بنفس السهولة ؟

الباب لا يدور بنفس السهولة.

ـ هل الأثر الدوراني لهذه القوة على الباب يختلف في كل مرحلة ؟

نعم الأثر الدوراني لهذه القوة على الباب يختلف في كل مرحلة.

ـ ما الذي تستنتجه بالنسبة لعزم القوة ؟

نستنتج أن عزم القوة متعلق بالبعد العمودي لحامل القوة عن مجور الدوران.

   طبق على مقبض الباب قوة عمودية على مستوى الباب، ثم أعد التجربة بتطبيق قوة في نفس الاتجاه، وبشدة أكبر وفي نفس النقطة.

ـ هل يوجد فرق في الأثر الدوراني للقوة على الباب في كل حالة ؟

نعم يوجد فرق في الأثر الدوراني للقوة على الباب في كل حالة.

ـ ما الذي تستنتجه بالنسبة لعزم القوة ؟

نستنتج أن عزم القوة متعلق بشدة القوة المطبقة.

    طبق على مقبض الباب قوة عمودية على مستوى الباب، ثم أعد التجربة بتطبيق قوة لها نفس الشدة، واتجاه معاكس لاتجاه القوة السابقة وفي نفس النقطة.  

ـ هل يدور الباب في نفس الاتجاه ؟

الباب لا يدور في نفس الاتجاه.

ـ هل يوجد فرق في الأثر الدوراني للقوة على الباب في كل حالة ؟

نعم يوجد فرق في الأثر الدوراني للقوة على الباب في كل حالة متعلق بتغير جهة الدوران.

ـ ما الذي تستنتجه بالنسبة لعزم القوة ؟

نستنتج أن عزم القوة متعلق بالجهة الاصطلاحية للحركة، حيث يمكن أن يكون موجب أو سالب.

ـ استنتج مما سبق عزم قوة بالنسبة لمحور ثابت.

الاستنتاج:

يتعلق عزم قوة بالنسبة لمحور دوران Δ حاملها لا يوازي ولا يقطع هذا المحور بـ شدة و اتجاه هذه القوة والبعد العمودي بين حامل القوة والمحور Δ ويعطى بالعبارة:

$$M_{\frac{\vec{F}}{\Delta}} = \left( {}_{-}^{+} \right) F d$$ويقاس بـ N.m

2 ـ 3 ـ كيف نعين المسافة d ذراع قوة حاملها كيفي؟

O نقطة تقاطع محور الدوران Δ مع المستوي P العمودي على هذا المحور، القوة F تنتمي لهذا المستوي وA نقطة تطبيقها. تمثل المسافة d البعد بين النقطة O والنقطة H ، حيث H هو المسقط العمودي للنقطة O على حامل القوة F 

2 ـ 4 ـ تأثير عدة قوى على جسم صلب يدور حول محور ثابت:

إذا أثرت عدة قوى على جسم صلب متحرك حول محور ثابت Δ ، يتعلق اتجاه دوران الجسم بالتأثير الدوراني الإجمالي لهذه القوى بالنسبة لهذا المحور. نقبل أن التأثير الدوراني الإجمالي لعدة قوى هو المجموع الجبري لعزوم هذه القوى بالنسبة للمحور Δ ونرمز له بالرمز M_/Δ ومنه:

  M_/Δ = M_{F1/ Δ} + M_F2/Δ + M_{F3/ Δ} + ….

العزم مقدار جبري وإشارته تدل على اتجاه دوران الجسم:

ـ إذا كان العزم موجبا، يدور الجسم في الاتجاه الموجب المختار.

ـ إذا كان العزم سالبا، يدور الجسم في الاتجاه السالب.

3 ـ عزم مزدوجة قوتين:

3 ـ 1 ـ تعريف المزدوجة:

عبارة عن قوتين متساويتين في الشدة، ومتعاكستين في الاتجاه، وحملاهما متوازيين، و محصلتهما معدومة.

نقتصر في هذه الدراسة على المزدوجات $(\vec{F}_1, \vec{F}_2)$ الموجودة في المستوي العمودي على محور دوران الجسم الصلب.

مثال:

تأثير القوتان $\vec{F}_1$ و $\vec{F}_2$ على مقود السيارة تمثل مزدوجة.

3 ـ 2 ـ عبارة عزم المزدوجة:

 نشاط ـ 1 ـ

تؤثر مزدوجة قوتين $(\vec{F}_1, \vec{F}_2)$ على مقود سيارة نصف قطرها R

ـ اختر اتجاه موجب للدوران ؟

لاحظ الشكل.

ـ أحسب عزم القوة الأولى بالنسبة لمحور الدوران المار من مركز المقود ؟

$$M_{\frac{{\vec{F}}_1}{\mathrm{\Delta }}}=F_1\cdot R$$

ـ أحسب عزم القوة الثانية بالنسبة لمحور الدوران ؟

$$M_{\frac{{\vec{F}}_2}{\mathrm{\Delta }}}=F_2\cdot R$$

ـ أحسب مجموع عزمي القوتين ؟

لدينا:

$$M_{\frac{{\vec{F}}_1}{\mathrm{\Delta }}}+M_{\frac{{\vec{F}}_2}{\mathrm{\Delta }}}=(F_1+F_2)\cdot R$$

ولدينا:

$$F_1 = F_2 = F$$

ومنه:

$$M_{\frac{{\vec{F}}_1}{\mathrm{\Delta }}}+M_{\frac{{\vec{F}}_2}{\mathrm{\Delta }}}=2F\cdot R$$

ـ استنتج عبارة عزم المزدوجة ؟

نضع 2R = d ومنه:

M_/Δ = F.d

الاستنتاج:

يمثل عزم مزدوجة قوتين، تؤثران على جسم صلب يدور حول محور Δ، المجموع الجبري لـ عزمي القوتين. أي يتعلق عزم هذه المزدوجة بشدة احدى القوتين، وذراع المزدوجة الذي هو البعد العمودي بين حاملي القوتين. 

وتكتب العبارة على الشكل M_/Δ = F.d

نشاط ـ 2 ـ

 تخيل أن المقود السابق يدور حول محور لا يمر من مركزه.

ـ هل يتعلق عزم مزدوجة القوتين بموضع محور الدوران ؟

ـ استنتج صيغة لعلاقة عزم مزدوجة ؟

الاستنتاج:

لا يتعلق عزم مزدوجة قوتين موجودتين في المستوي العمودي على محور الدوران Δ لجسم صلب بموضع هذا المحور.

ـ يمثل عزم المزدوجة جداء شدة إحدى القوتين في البعد العمودي  d بين حاملي القوتين :M_/Δ = ± F.d

ملاحظة:

عندما نتكلم عن عزم مزدوجة لا نذكر المحور خلافا عن عزم القوة التي يجب دائما ذكر محور الدوران.

4 ـ توازن جسم صلب خاضع لعدة قوى (شرطا التوازن):

يكون جسما صلبا خاضعا لعدة قوى في حالة توازن في معلم عطالي إذا كان:

أ ـ المجموع الشعاعي للقوى المطبقة على الجسم يساوي الشعاع المعدوم:

$$\sum {\vec{F}}_i=\vec{0}$$

جـ ـ المجموع الجبري لعزوم القوى المؤثرة عليه معدوم:

$$\sum M_{\frac{\vec{F}}{\mathrm{\Delta }}}=0$$

5 ـ عزم عطالة جسم صلب بالنسبة لمحور ثابت:

5 ـ 1 ـ مركز الثقل:

يعرف مركز ثقل جملة نقاط مادية كتل كل منها m₁ , m₂, m₃ , ….. ومواضع كل منها على التوالي M₁ , M₂, M₃ , …. على أنه مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط  Mi المرفقة بالكتل m_i . إذا اعتبرنا موضع مركز الثقل النقطة C يحسب موضعه بالعبارة التالية: 

$$m_1{\overrightarrow{CM}}_1+m_2{\overrightarrow{CM}}_2+m_3{\overrightarrow{CM}}_3+\cdots =\vec{0}$$

بالنسبة لنقطة O نختارها كمبدأ تكتب العلاقة السابقة على الشكل:

$$\overrightarrow{OC}=\frac{\sum m_i{\overrightarrow{OM}}_i}{\sum m_i}$$

5 ـ 2 ـ مركز العطالة:

نشاط ـ 3 ـ

عندما نضع صفيحة زجاج على طاولة أفقية ونضع فوقها قطعة صابون مبللة نغرز فيها ثلاثة أعمدة صغيرة (أعواد ثقاب مثلا) في مواضع مختلفة حيث أحد الأعمدة يكون في مركز القطعة، عند دفع قطعة الصابون.

ـ هل يكون لكل الأعمدة مسارات متشابهة خلال الحركة ؟ 

لا يكون لكل الأعمدة مسارات متشابهة خلال الحركة   

ـ ما هو العمود الذي يكون له مسار خاص ؟ وما نوع هذا المسار ؟

العمود الذي يكون له مسار خاص هو العمود الموجود في مركز قطعة الصابون حيث يكون مساره مستقيما.

الاستنتاج:

في الأجسام الصلبة التي نعتبرها مجموعة نقط مادية، توجد نقطة واحدة لها حركة خاصة، (حركة مستقيمة منتظمة إذا كانت الجملة معزولة)، ندعوها مركز عطالة الجملة ونرمز لها عادة بالرمز C. إذا كانت الكتلة لا تتعلق بسرعة الجسم كما هو الحال في دراستنا، ينطبق مركز العطالة على مركز الكتل.

5 ـ 3 ـ مفهوم عزم العطالة:

تبدي الأجسام الصلبة المتحركة حول محور( Δ) مقاومة للأثر الدوراني للقوة المطبقة عليها ندعوها العطالة الدورانية. تتعلق هذه العطالة في الأجسام الصلبة بكتلة وبنصف قطر الجسم.

5 ـ 4 ـ عزم عطالة جسم صلب بالنسبة لمحور ثابت:

  تقاس العطالة الدورانية لجسم صلب يتحرك بالنسبة لمحور Δ ثابت بمقدار فيزيائي يدعى عزم عطالة الجسم بالنسبة  للمحور Δ ، يرمز لعزم العطالة بالرمز J_/Δ وهو مقدار ثابت  وموجب.  

انظر الجدول الموضح على الكتاب المدرسي صفحة 63

5 ـ 5 ـ نظرية هويغنز:

لحساب عزم عطالة جسم صلب يدور حول محور لا يمر من مركزه نستعين بنظرية هويغنز.

النظرية:

عزم عطالة جسم صلب بالنسبة لمحور (Δ') لا يمر من مركزه يساوي عزم عطالة هذا الجسم بالنسبة لمحور Δ مار من مركز الجسم و يوازي المحور (Δ') زائدا جداء كتلة الجسم في مربع المسافة الفاصلة بين هذين المحورين:

 J_/Δ' = J_/Δ + Md²

 مثال:

أوجد عبارة عزم عطالة ساق متجانسة كتلتها M ، وطولها L بالنسبة لمحور دوران (Δ’) مار من طرفها ؟

6 ـ عبارة عمل مزدوجة:

نشاط:

طبق قوة بيدك على مقود سيارة نصف قطره R لتديره بزاوية θ، نفرض أن القوة شدتها ثابتة.

جزء المسار الدائري AB للقوة إلى قطع صغيرة نعتبرها مستقيمة

وأحسب عمل القوة عندما تنتقل نقطة تطبيقها على كل جزء.

باعتبار عمل القوة من A إلى B هو مجموع أعمال القوة على كل جزء

ـ أوجد عمل القوة من A إلى B.

معادلة حساب العمل الميكانيكي:

معادلة حساب العمل الميكانيكي:

المعادلة الرياضية:

=  F . AB₁ + F. B₁B₂ + F.B₂B₃ + …    

           = F ( AB₁ + B₁B₂+B₂B₃+ …)              

                                        = F . AB                                                       

لدينا: θ AB = R.

ومنه:

$$W_{AB} (\vec{F}) = F \cdot AB = F \cdot R \cdot \theta$$

بما أن $F \cdot R$ تمثل عزم القوة، إذن:

$$W_{AB}(\vec{F})=M_{\frac{\vec{F}}{\mathrm{\Delta }}}\cdot \theta$$

ويكون كذلك عزم المزدوجة:

  ℳθW_M = 

ـ أوجد عبارة الاستطاعة ؟

لدينا:

$$P = \frac{W}{\Delta t}$$

ومنه:

$$P = \frac{M_{\frac{\vec{F}}{\Delta}} \cdot \theta}{\Delta t}$$

وبما أن $\frac{\theta}{\Delta t} = \omega$ (السرعة الزاوية)، نحصل على:

$$P=M_{\frac{\vec{F}}{\mathrm{\Delta }}}\cdot \omega$$

7 ـ عبارة الطاقة الحركية لجسم صلب في حالة حركة دورانية:

نشاط:

يدور جسم نقطي كتلته m حول محور ثابت بسرعة v ثابتة، ويرسم مسارا دائريا نصف قطره R.

ـ أوجد عبارة طاقته الحركية ؟

ـ بالاعتماد على علاقة السرعة بالسرعة الزاوية. بين أن الطاقة الحركية تكتب على الشكل التالي:

   E_C = ½ . J_/Δ.w²

حيث: J_/Δ = m R²

هو عزم عطالة الجسم النقطي بالنسبة لمحور الدوران

من عبارة الطاقة الحركية لحركة انسحابية نستنتج:

 E_C = ½ mV² = ½ m R²w² = ½ J_/Δ. w²

نتيجة:

الطاقة الحركية الدورانية لجسم صلب يدور حول محور ثابت Δ هي جداء نصف عزم عطالة هذا الجسم بالنسبة لنفس المحور في مربع السرعة الزاوية لهذا الجسم:

  E_C = ½.J.w²